Dieses Kapitel legt das algebraisch-geometrische Fundament für das tiefergehende Studium elliptischerKurven. Ausgehend von der Interpretation polynomieller Gleichungen als algebraische Varietäten werden dieessentiellen strukturellen Werkzeuge bereitgestellt. Zentral ist dabei die rigorose Einführung fundamentalerEigenschaften wie der Dimension und der Glattheit algebraischer Kurven, welche formal über die Eigenschaftenlokaler Ringe greifbar gemacht werden. Diese lokale Betrachtung ermöglicht ein präzises Verständnis singulärer undregulärer Punkte. Den globalen Gegenpol dazu bildet die Einführung des Geschlechts einer Kurve als entscheidendegeometrische Invariante. Der theoretische Höhepunkt und das konzeptionelle Ziel des Kapitels ist die Formulierungdes Satzes von Riemann-Roch. Dieses weitreichende Resultat verknüpft die Geometrie der Kurve mit der Dimensionder Räume rationaler Funktionen und bildet das unverzichtbare algebraische Rückgrat, um im weiteren Verlauf desBuches die Existenz einer Weierstraß-Gleichung und Gruppenstruktur elliptischer Kurven fundiert zu etablieren.