Themen der Aufgaben ■ Taylor-Approximation → 4.1 ■ Diagonalisierung eines linearen Differentialgleichungssystems, zweidimensional \(u^{\prime } = a_{1,1} u + a_{1,2} v,v^{\prime } = a_{2,1} u + a_{1,2} v\) → 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.17, 4.21 ■ Periodische Lösung eines zweidimensionalen Differentialgleichungssystems \(x^{\prime } = y - \cos \left( {3t} \right),y^{\prime } = - 3x - 4y + \sin t\) → 4.5 ■ Diagonalisierung eines linearen Differentialgleichungssystems, dreidimensional \(u^{\prime } = \underbrace {A}_{3 \times 3}u\) → 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 ■ Kreisförmige Bewegung \(u^{\prime } = a \times u,u\left( t \right) \in {\mathbb{R}}^{3}\) → 4.9 ■ Lineare homogene Differentialgleichung höherer Ordnung \(u^{(n)} = \sum{}_{k < n} \,a_{k} u^{\left( k \right)}\) → 4.10 ■ Diagonalisierung eines linearen Differentialgleichungssystems, Differentialgleichungen zweiter Ordnung \(x^{\prime \prime } = \underbrace {A}_{2 \times 2}x,x\left( 0 \right) = p,x^{\prime } \left( 0 \right) = q\) → 4.11, 4.12 ■ Schwingung gekoppelter Federn \(x^{\prime \prime } = - \left( {\alpha + \beta } \right)x + \beta y,y^{\prime \prime } = \beta x - \left( {\beta + \gamma } \right)y\) → 4.12 ■ Eliminationsmethode für ein Differentialgleichungssystem \(u^{\prime \prime } = \underbrace {A}_{2 \times 2}u + b\) → 4.13, 4.14 ■ Differentialgleichungssystem mit vorgegebener Lösung → 4.15 ■ Jordan-Form eines linearen Differentialgleichungssystems \(u_{k}^{\prime } = \lambda u_{k} + \sigma u_{k + 1} + f_{k} ,\sigma \in \left\{ {0,1} \right\}\) → 4.16, 4.18 ■ Matrixexponentialfunktion \({\text{e}}^{At}\) → 4.17, 4.18 ■ Autonomes Differentialgleichungssystem \(u^{\prime } = f\left( u \right)\) → 4.19, 4.20, 4.22, 4.23 ■ Feldlinien eines Gradientenfelds \(\left( {x^{\prime } ,y^{\prime } } \right)^{{\text{t}}} = {\text{grad}} P\left( {x,y} \right)\) → 4.19, 4.20, 4.21 ■ Modellierung einer Epidemie \(I^{\prime } = a\left( {{I \mathord{\left/ {\vphantom {I N}} \right. \kern-0pt} N}} \right)S - bI,S{\prime} = - a\left( {{I \mathord{\left/ {\vphantom {I N}} \right. \kern-0pt} N}} \right)S + bI\) → 4.22 ■ Lotka-Volterra-Modell \(u^{\prime } = \left( {1 - v} \right)u,v^{\prime } = \left( {u - 1} \right)v\) → 4.23 ■ Stabilität eines linearen Differentialgleichungssystems \(u^{\prime } = Au - b\) → 4.24, 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 ■ Entwicklung von Marktanteilen \(x^{\prime } = Ax,\;\sum{}_{j} a_{j,k} = 0,\;\sum{}_{k} x_{k} = 1\) → 4.28 ■ Stabilität eines autonomen Differentialgleichungssystems \(u^{\prime } = f\left( {u_{1} ,u_{2} , \ldots } \right)\) → 4.29, 4.30, 4.31, 4.32, 4.33 ■ Nullklinen \(x^{\prime } = y - x^{2} ,y^{\prime } = x - xy,\quad N_{x} :x^{\prime } = 0,N_{y} :y^{\prime } = 0\) → 4.29 ■ Raubtier-Beutetier-Modell \(u^{\prime } = u\left( {p_{1} - p_{2} u + p_{3} v} \right),v^{\prime } = v\left( {q_{1} - q_{2} v - q_{3} u} \right)\) → 4.31 ■ Einfangende Region und Grenzzyklus des Brusselators \(x^{\prime } = a - \left( {b + 1} \right)x + x^{2} y,y^{\prime } = bx - x^{2} y\) → 4.33 ■ Differentialgleichungssysteme mit MapleTM Animation einer inkompressiblen Strömung → 4.34 ■ Differentialgleichungen mit Matlab® lineare und nicht lineare Anfangswertprobleme → 4.35, 4.36, 4.37, 4.38, 4.39, 4.40, 4.41, 4.42 ■ Steuerung eines Motorboots mit Matlab® \(x^{\prime } = F_{x} \left( {x,y} \right) + V_{x} ,y^{\prime } = F_{y} \left( {x,y} \right) + V_{y}\) → 4.37 ■ Tor des Monats mit Matlab® \(x^{\prime \prime } = - \left( \begin{gathered} 0 \\ g \\ \end{gathered} \right) - \gamma \left| {x^{\prime } } \right|\left( \begin{gathered} x_{1}^{\prime } \\ x_{2}^{\prime } \\ \end{gathered} \right)\) → 4.38 ■ Dreikörperproblem mit Matlab® \(P_{k}^{\prime \prime } = \sum{}_{j \ne k} m_{j} \frac{{P_{j} - P_{k} }}{{\left| {P_{j} - P_{k} } \right|^{3} }}\) → 4.39 ■ Rückkehr zur Erde mit Matlab® \(p^{\prime } = v,v^{\prime } = - Gp/|p|^{3} - {{Av} \mathord{\left/ {\vphantom {{Av} {\left| v \right|}}} \right. \kern-0pt} {\left| v \right|}}\) → 4.40 ■ Arenstorf-Orbits mit Matlab® \(\begin{gathered} x^{\prime \prime } = x + 2y^{\prime } - \frac{{m_{e} \left( {x + m_{m} } \right)}}{{\left( {\left( {x + m_{m} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} - \frac{{m_{m} \left( {x - m_{e} } \right)}}{{\left( {\left( {x - m_{e} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} \hfill \\ y^{\prime \prime } = y - 2x^{\prime } - \frac{{m_{e} y}}{{\left( {\left( {x + m_{m} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} - \frac{{m_{m} y}}{{\left( {\left( {x - m_{e} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} \hfill \\ \end{gathered}\) → 4.41 ■ Seltsamer Attraktor des Lorenz-Systems \(x^{\prime } = a\left( {y - x} \right),y^{\prime } = x\left( {b - z} \right) - y,z^{\prime } = xy - cz\) → 4.42

Differentialgleichungssysteme

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发表日期：

2025年

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Klaus Höllig,
Jörg Hörner

摘要

Themen der Aufgaben ■ Taylor-Approximation → 4.1 ■ Diagonalisierung eines linearen Differentialgleichungssystems, zweidimensional \(u^{\prime } = a_{1,1} u + a_{1,2} v,v^{\prime } = a_{2,1} u + a_{1,2} v\) → 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.17, 4.21 ■ Periodische Lösung eines zweidimensionalen Differentialgleichungssystems \(x^{\prime } = y - \cos \left( {3t} \right),y^{\prime } = - 3x - 4y + \sin t\) → 4.5 ■ Diagonalisierung eines linearen Differentialgleichungssystems, dreidimensional \(u^{\prime } = \underbrace {A}_{3 \times 3}u\) → 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 ■ Kreisförmige Bewegung \(u^{\prime } = a \times u,u\left( t \right) \in {\mathbb{R}}^{3}\) → 4.9 ■ Lineare homogene Differentialgleichung höherer Ordnung \(u^{(n)} = \sum{}_{k < n} \,a_{k} u^{\left( k \right)}\) → 4.10 ■ Diagonalisierung eines linearen Differentialgleichungssystems, Differentialgleichungen zweiter Ordnung \(x^{\prime \prime } = \underbrace {A}_{2 \times 2}x,x\left( 0 \right) = p,x^{\prime } \left( 0 \right) = q\) → 4.11, 4.12 ■ Schwingung gekoppelter Federn \(x^{\prime \prime } = - \left( {\alpha + \beta } \right)x + \beta y,y^{\prime \prime } = \beta x - \left( {\beta + \gamma } \right)y\) → 4.12 ■ Eliminationsmethode für ein Differentialgleichungssystem \(u^{\prime \prime } = \underbrace {A}_{2 \times 2}u + b\) → 4.13, 4.14 ■ Differentialgleichungssystem mit vorgegebener Lösung → 4.15 ■ Jordan-Form eines linearen Differentialgleichungssystems \(u_{k}^{\prime } = \lambda u_{k} + \sigma u_{k + 1} + f_{k} ,\sigma \in \left\{ {0,1} \right\}\) → 4.16, 4.18 ■ Matrixexponentialfunktion \({\text{e}}^{At}\) → 4.17, 4.18 ■ Autonomes Differentialgleichungssystem \(u^{\prime } = f\left( u \right)\) → 4.19, 4.20, 4.22, 4.23 ■ Feldlinien eines Gradientenfelds \(\left( {x^{\prime } ,y^{\prime } } \right)^{{\text{t}}} = {\text{grad}} P\left( {x,y} \right)\) → 4.19, 4.20, 4.21 ■ Modellierung einer Epidemie \(I^{\prime } = a\left( {{I \mathord{\left/ {\vphantom {I N}} \right. \kern-0pt} N}} \right)S - bI,S{\prime} = - a\left( {{I \mathord{\left/ {\vphantom {I N}} \right. \kern-0pt} N}} \right)S + bI\) → 4.22 ■ Lotka-Volterra-Modell \(u^{\prime } = \left( {1 - v} \right)u,v^{\prime } = \left( {u - 1} \right)v\) → 4.23 ■ Stabilität eines linearen Differentialgleichungssystems \(u^{\prime } = Au - b\) → 4.24, 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 ■ Entwicklung von Marktanteilen \(x^{\prime } = Ax,\;\sum{}_{j} a_{j,k} = 0,\;\sum{}_{k} x_{k} = 1\) → 4.28 ■ Stabilität eines autonomen Differentialgleichungssystems \(u^{\prime } = f\left( {u_{1} ,u_{2} , \ldots } \right)\) → 4.29, 4.30, 4.31, 4.32, 4.33 ■ Nullklinen \(x^{\prime } = y - x^{2} ,y^{\prime } = x - xy,\quad N_{x} :x^{\prime } = 0,N_{y} :y^{\prime } = 0\) → 4.29 ■ Raubtier-Beutetier-Modell \(u^{\prime } = u\left( {p_{1} - p_{2} u + p_{3} v} \right),v^{\prime } = v\left( {q_{1} - q_{2} v - q_{3} u} \right)\) → 4.31 ■ Einfangende Region und Grenzzyklus des Brusselators \(x^{\prime } = a - \left( {b + 1} \right)x + x^{2} y,y^{\prime } = bx - x^{2} y\) → 4.33 ■ Differentialgleichungssysteme mit MapleTM Animation einer inkompressiblen Strömung → 4.34 ■ Differentialgleichungen mit Matlab® lineare und nicht lineare Anfangswertprobleme → 4.35, 4.36, 4.37, 4.38, 4.39, 4.40, 4.41, 4.42 ■ Steuerung eines Motorboots mit Matlab® \(x^{\prime } = F_{x} \left( {x,y} \right) + V_{x} ,y^{\prime } = F_{y} \left( {x,y} \right) + V_{y}\) → 4.37 ■ Tor des Monats mit Matlab® \(x^{\prime \prime } = - \left( \begin{gathered} 0 \\ g \\ \end{gathered} \right) - \gamma \left| {x^{\prime } } \right|\left( \begin{gathered} x_{1}^{\prime } \\ x_{2}^{\prime } \\ \end{gathered} \right)\) → 4.38 ■ Dreikörperproblem mit Matlab® \(P_{k}^{\prime \prime } = \sum{}_{j \ne k} m_{j} \frac{{P_{j} - P_{k} }}{{\left| {P_{j} - P_{k} } \right|^{3} }}\) → 4.39 ■ Rückkehr zur Erde mit Matlab® \(p^{\prime } = v,v^{\prime } = - Gp/|p|^{3} - {{Av} \mathord{\left/ {\vphantom {{Av} {\left| v \right|}}} \right. \kern-0pt} {\left| v \right|}}\) → 4.40 ■ Arenstorf-Orbits mit Matlab® \(\begin{gathered} x^{\prime \prime } = x + 2y^{\prime } - \frac{{m_{e} \left( {x + m_{m} } \right)}}{{\left( {\left( {x + m_{m} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} - \frac{{m_{m} \left( {x - m_{e} } \right)}}{{\left( {\left( {x - m_{e} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} \hfill \\ y^{\prime \prime } = y - 2x^{\prime } - \frac{{m_{e} y}}{{\left( {\left( {x + m_{m} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} - \frac{{m_{m} y}}{{\left( {\left( {x - m_{e} } \right)^{2} + y^{2} } \right)^{3/2} }} \hfill \\ \end{gathered}\) → 4.41 ■ Seltsamer Attraktor des Lorenz-Systems \(x^{\prime } = a\left( {y - x} \right),y^{\prime } = x\left( {b - z} \right) - y,z^{\prime } = xy - cz\) → 4.42