Themen der Aufgaben ■ Elementare Laplace-Transformationen, Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen \(t^{n} ,{\kern 1pt} \,\exp ,\;\sin ,\;\cos \;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.1, 3.2, 3.3 ■ Differentiation and Integration von Laplace-Transformationen \(t.,\;\,\frac{d}{dt},\;\int \ldots \;dt\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.4, 3.5 ■ Verschiebung und Skalierung von Laplace-Transformationen \(u\left( {t - a} \right),\;u\left( {at} \right),\;e^{at} .\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.6, 3.7 ■ Inverse Laplace-Transformation rationaler Funktionen \({{p\left( s \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{p\left( s \right)} {q\left( s \right)}}} \right. \kern-0pt} {q\left( s \right)}}\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{{\mathcal{L}}^{ - 1} }}\) → 3.8, 3.9, 3.10 ■ Laplace-Transformation periodischer Funktionen \(u\left( t \right) = u\left( {t + T} \right)\) → 3.11, 3.12 ■ Faltung und Laplace-Transformation \(\left( {u{ \star }\upsilon } \right)\left( t \right) = \int_{0}^{t} {u\left( {t - \tau } \right)\upsilon \left( \tau \right)} \,d\tau \;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.13 ■ Laplace-Transformation von B-Splines \(\frac{d}{dt}b_{n} \left( t \right) = b_{n - 1} \left( t \right) - b_{n - 1} \left( {t - 1} \right),\,b_{n} \left( 0 \right) = 0\,\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.14 ■ Integralgleichungen \(u\left( t \right) + \int_{0}^{t} {f\left( {t - \tau } \right)} u\left( \tau \right)d\tau = g\left( t \right),\quad u{\prime} \left( t \right) + \int_{0}^{t} {f\left( {t - \tau } \right)} u\left( \tau \right)d\tau = g\left( t \right)\) → 3.15, 3.16 ■ Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen erster Ordnung \(u{\prime} + pu = f,\;u\left( 0 \right) = a\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.17, 3.18, 3.19 ■ Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung \(u^{^{\prime\prime}} + pu{\prime} + qu = f,\;u\left( 0 \right) = a,\,u{\prime} \left( 0 \right) = b\,\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24 ■ Differentialgleichung mit einer Delta-Funktion \(u^{^{\prime\prime}} + 4u = \delta \left( {t - \pi } \right)\) → 3.24 ■ Anfangswertproblem dritter Ordnung \(u^{\left( 3 \right)} + \sum\nolimits_{k = 0}^{2} {pku^{\left( k \right)} } = f,\;u^{\left( k \right)} \left( 0 \right) = a_{k} ,k = 0,\,1,\,2\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.25, 3.26 ■ Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung \(u{\prime} + \underbrace {A}_{2 \times 2}u = f,\;u\left( 0 \right) = a\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.27 ■ Lineares Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung \(u^{^{\prime\prime}} + \underbrace {A}_{2 \times 2}u = f,\;u\left( 0 \right) = a,\;u{\prime} \left( 0 \right) = b\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.28

Laplace-Transformation

章节
发表日期：

2025年

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Klaus Höllig,
Jörg Hörner

摘要

Themen der Aufgaben ■ Elementare Laplace-Transformationen, Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen \(t^{n} ,{\kern 1pt} \,\exp ,\;\sin ,\;\cos \;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.1, 3.2, 3.3 ■ Differentiation and Integration von Laplace-Transformationen \(t.,\;\,\frac{d}{dt},\;\int \ldots \;dt\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.4, 3.5 ■ Verschiebung und Skalierung von Laplace-Transformationen \(u\left( {t - a} \right),\;u\left( {at} \right),\;e^{at} .\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.6, 3.7 ■ Inverse Laplace-Transformation rationaler Funktionen \({{p\left( s \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{p\left( s \right)} {q\left( s \right)}}} \right. \kern-0pt} {q\left( s \right)}}\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{{\mathcal{L}}^{ - 1} }}\) → 3.8, 3.9, 3.10 ■ Laplace-Transformation periodischer Funktionen \(u\left( t \right) = u\left( {t + T} \right)\) → 3.11, 3.12 ■ Faltung und Laplace-Transformation \(\left( {u{ \star }\upsilon } \right)\left( t \right) = \int_{0}^{t} {u\left( {t - \tau } \right)\upsilon \left( \tau \right)} \,d\tau \;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.13 ■ Laplace-Transformation von B-Splines \(\frac{d}{dt}b_{n} \left( t \right) = b_{n - 1} \left( t \right) - b_{n - 1} \left( {t - 1} \right),\,b_{n} \left( 0 \right) = 0\,\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.14 ■ Integralgleichungen \(u\left( t \right) + \int_{0}^{t} {f\left( {t - \tau } \right)} u\left( \tau \right)d\tau = g\left( t \right),\quad u{\prime} \left( t \right) + \int_{0}^{t} {f\left( {t - \tau } \right)} u\left( \tau \right)d\tau = g\left( t \right)\) → 3.15, 3.16 ■ Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen erster Ordnung \(u{\prime} + pu = f,\;u\left( 0 \right) = a\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.17, 3.18, 3.19 ■ Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung \(u^{^{\prime\prime}} + pu{\prime} + qu = f,\;u\left( 0 \right) = a,\,u{\prime} \left( 0 \right) = b\,\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.24 ■ Differentialgleichung mit einer Delta-Funktion \(u^{^{\prime\prime}} + 4u = \delta \left( {t - \pi } \right)\) → 3.24 ■ Anfangswertproblem dritter Ordnung \(u^{\left( 3 \right)} + \sum\nolimits_{k = 0}^{2} {pku^{\left( k \right)} } = f,\;u^{\left( k \right)} \left( 0 \right) = a_{k} ,k = 0,\,1,\,2\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.25, 3.26 ■ Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung \(u{\prime} + \underbrace {A}_{2 \times 2}u = f,\;u\left( 0 \right) = a\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.27 ■ Lineares Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung \(u^{^{\prime\prime}} + \underbrace {A}_{2 \times 2}u = f,\;u\left( 0 \right) = a,\;u{\prime} \left( 0 \right) = b\;\mathop{\longrightarrow}\limits^{{\mathcal{L}}}\) → 3.28