Viele Fragestellungen der Angewandten Mathematik beschäftigen sich mit der Suche nach einem Optimum. Bereits im ersten Kapitel wurden wichtige Fragen zur Bestimmung von Optima mehrdimensionaler Funktionen behandelt. Nun gehen Sie einen wichtigen Schritt weiter und lernen die Optimierung in abstrakteren (mitunter unendlich-dimensionalen) Funktionenräumen kennen. Dabei werden Sie die aufgrund ihrer Einfachheit elegante Formulierung der Approximationstheorie auf Unterräumen entdecken, die vielfältige Anwendungen hat. Im zweiten Teil dieses Kapitels machen Sie sich zudem mit der Variationsrechnung vertraut, die Ihnen zeigt, dass ein Optimum auf Funktionenräumen auch als Lösung einer Differentialgleichung auftreten kann (mit den sogenannten Euler-Lagrange-Differentialgleichungen). Zuletzt werden Iterationsgleichungen und ihr Zusammenhang mit dem nützlichen Fixpunktsatz vorgestellt. Das Denken in Funktionenräumen ist besonders wichtig für das moderne Verständnis von Angewandter Mathematik und führt zu vielen Problemformulierungen und letztlich auch deren Lösungen, beispielsweise in der Physik und den Ingenieurwissenschaften. Dieses Kapitel erweitert damit Ihr grundlegendes Verständnis der Optimierung durch eine allgemeinere, abstraktere Betrachtung.