Dieses Kapitel behandelt die allgemeine Theorie von Vektorräumen und von linearen Abbildungen. Wir führen die Konzepte des Untervektorraums und der Basis ein. Während wir in Kapitel 2 ausschließlich kartesische Koordinatensysteme behandelt haben, können wir nun Vektoren bezüglich allgemeinerer Koordinatensysteme darstellen, die aus einer Basis entstehen. Mit Hilfe von Basen können wir lineare Abbildungen als Matrix darstellen. Diese Technik verwenden wir, um Koordinatentransformationen (Basiswechsel) einzuführen. Mit deren Hilfe kann man lineare Abbildungen in angepassten Koordinaten konstruieren beziehungsweise analysieren. Wir formulieren das Normalformproblem (und den Spezialfall des Jordanschen Normalformproblems). Dieses besteht darin, zu einer gegebenen linearen Abbildung geschickte Koordinatensysteme zu finden, so dass bezüglich dieser Koordinatensysteme die lineare Abbildung durch eine möglichst einfache Matrix dargestellt wird. Diese Fragestellung hat eine Vielzahl an Anwendungen. Im letzten Abschnitt beschäftigen wir uns mit Orthonormalbasen. Wir verwenden das Orthonormalisierungsverfahren nach Gram/Schmidt, um aus einer gegebenen Basis eines Vektorraums oder Untervektorraums eine Orthonormalbasis zu konstruieren. Der Vorteil einer Orthonormalbasis liegt darin, dass man die Koordinatendarstellung eines Vektors besonders einfach bestimmen kann. Zum Schluss betrachten wir orthogonale lineare Abbildungen und klassifizieren diese geometrisch als Drehungen oder Drehspiegelungen.