Hier steht der Begriff der algebraischen Körpererweiterung im Zentrum. Das ist ein Spezialfall einer Algebra, und so lassen sich Methoden aus Kap. 3 einsetzen, um Automorphismen anzugeben. Der Satz vom primitiven Element klärt, wann sich solch eine Erweiterung durch Hinzunahme eines einzigen Elementes zum Grundkörper gewinnen lässt. Dies gilt insbesondere für endlichdimensionale Körpererweiterungen, die zusätzlich galoissch sind. In diesem Fall entsprechen die Untergruppen der Automorphismengruppe bijektiv den Zwischenkörpern. Dieser Hauptsatz der Galoistheorie findet Anwendung zum Beispiel beim Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra – aufbauend auf dem Zwischenwertsatz der reellen Analysis –, bei der Frage, welche regelmäßigen Vielecke sich ausgehend von 0 und 1 mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen, und ob es eine Formel gibt, mit der sich Nullstellen eines gegebenen Polynoms berechnen lassen.