Eine einfache Idee, einige der Aussagen, die von ZFC unabhängig sind, zu beweisen oder zu widerlegen, besteht darin, weitere Axiome zu ZFC hinzuzufügen. In einer erweiterten Theorie von ZFC, die mehr Axiome enthält, können einige der Fragen, die ZFC nicht beantworten kann, beantwortet werden, indem einige Theoreme bewiesen werden können, die in ZFC nicht bewiesen werden konnten. Mengentheoretiker:innen untersuchen in ihrer Forschung deswegen sogenannte neue Axiome, um diese Idee genau unter die Lupe zu nehmen. Neue Axiome können als von ZFC unabhängige Aussagen charakterisiert werden, die man als grundlegende Prinzipien oder Ausgangspunkte deduktiver Herleitungen betrachtet. Die drei Hauptarten neuer Axiome, die in der Mengenlehre heute erforscht werden, sind große Kardinalzahlaxiome, Determiniertheitsprinzipien und Forcingaxiome. Währen Kardinalzahlaxiome und Determiniertheitsprinzipien keine Auswirkung auf die Kontinuumshypothese haben, implizieren Forcingaxiome, dass die Kontinuumshypothese falsch ist.