Dieses Kapitel erläutert sorgfältig den Riemannschen Text. Nach einer verbalen Beschreibung werden die mathematischen Strukturen, die hinter Riemanns Überlegungen standen oder von seinen Nachfolgern entwickelt wurden, detailliert dargestellt. Zentrale Begriffe sind die (differenzierbare) Mannigfaltigkeit, der metrische Tensor, geodätische Linien und vor allem der Riemannsche Krümmungstensor. Die aus diesem Tensor gewonnenen Schnittkrümmungen bilden einen vollständigen Satz von lokalen Invarianten, also koordinatenunabhängigen Größen, für eine Riemannsche Metrik. Dies ist eine zentrale Erkenntnis von Riemann. In diesem Kapitel wird daher der mathematische Formalismus vollständig entwickelt.