Der Elementarteilersatz für endlich-erzeugte Moduln über einem euklidischen Ring oder allgemeiner einem Hauptidealbereich liefert eine Klassifikation dieser Objekte – im Prinzip eine Verallgemeinerung der Aussage, dass jeder endlich-erzeugte Vektorraum über einem Körper \(\textbf{k}\) zu einem Vektorraum der Form \(\textbf{k}^n \) isomorph ist – allerdings in komplizierterer Weise, weil wir wissen, dass nicht jeder Modul frei ist und deshalb der Modul \(R^n \) als Modell nicht ausreichen wird. Im Fall des Rings \(\mathbb {Z}\) der ganzen Zahlen folgt eine Klassifikation der endlich-erzeugten abelschen Gruppen. Als Anwendung im Fall des Polynomrings erhalten wir einen alternativen Zugang zur Jordan’schen Normalform.