Viele Aussagen zum Polynomring und dem Ring der ganzen Zahlen beruhen in beiden Fällen auf der Division mit Rest. Abstrahiert man diesen Begriff, kommt man zu euklidischen Ringen. Wir bereiten einige Beobachtungen dazu vor, die dann im nächsten Kapitel benutzt werden, um den Elementarteilersatz für endlich-erzeugte Moduln über euklidischen Ringen – damit insbesondere einem Polynomring über einem Körper oder dem Ring der ganzen Zahlen – und über Hauptidealringen zu beweisen.