Henri Cartan ist der älteste Sohn von Élie Cartan (siehe dort). Er kam in Nancy zur Welt und verbrachte dort seine frühe Kindheit. Als er 5 Jahre alt war, erhielt sein Vater den Ruf an die Sorbonne, so dass Henri seine Schulzeit in Paris und in Versailles am Lycée Hoche verbrachte. Im Hause Cartan wurde viel musiziert, alle 4 Kinder lernten ein Instrument.