Die Finite Elemente Methode (FEM) zählt gegenwärtig zu den leistungsfähigsten und universellsten numerischen Berechnungsverfahren für die Lösung partieller Differentialgleichungen aus Technik und Naturwissenschaften. In diesem Kapitel werden zuerst einige Variationsprinzipien der Kontinuumsmechanik dargelegt, um die theoretischen Grundlagen der FEM zu erläutern. Besonderheit ist die Abhandlung hybrider, gemischter Variationsprinzipien, die für spezielle Risselemente in der Bruchmechanik sehr geeignet sind. Danach erfolgt eine knappe Darstellung der Diskretisierungstechniken mit den isoparametrischen Elementansätzen und der numerischen Realisierung der FEM. Die Algorithmen für nichtlineares Materialverhalten, für geometrisch nichtlineare Aufgaben und für dynamische explizite Berechnungen werden vorgestellt. Diese Ausführungen stellen die Basis für das Verständnis der folgenden Kapitel dar, in denen dann die Anwendung der FEM in der Bruchmechanik ausführlich behandelt wird.