Uno dei pilastri dell’Analisi Matematica è il concetto di limite. Lo abbiamo già definito per le successioni, eventualmente di Moore-Smith. In questo capitolo estenderemo la nozione di limite alle funzioni tra spazi topologici qualunque (o quasi), mettendo in particolare risalto il caso delle funzioni a valori reali. Prima di partire per questa tappa del nostro cammino, è meglio avvisare il lettore che i limiti per funzioni non sono ritenuti davvero importanti nella Topologia, ed infatti è raro trovare manuali di tale disciplina che ne trattino in modo esauriente. Una delle ragioni è che la Topologia sposta l’attenzione dal limite alla continuità, dal momento che sono le proprietà invarianti per l’azione di una funzione continua ciò che interessa al topologo. In omaggio al sottotitolo di questo libro, e seguendo l’esempio del classico testo 18 , introdurremo il concetto di limite per una funzione proprio a partire da quello — già visto — di continuità. Faremo poi vedere che, quasi banalmente, la benemerita definizione \(\varepsilon-\delta\) di limite coincide con quello da noi definito.