Die Bewegungsgleichungen der Newton’schen Mechanik können auf verschiedene Arten geschrieben werden – je nach Wahl der Koordinaten – und grundsätzlich sind alle unabhängigen Wahlmöglichkeiten gleichberechtigt. Allerdings erleichtern manche Koordinaten die Lösung der Bewegungsgleichungen, während andere erhebliche Probleme verursachen können. Es ist daher von allgemeinem Interesse, optimale Koordinaten für die Beschreibung zu finden, was auch in der Praxis hilfreich ist, insbesondere wenn das System Zwängen unterliegt, die die Einführung von Zwangskräften erfordern, die oft schwer zu definieren sind. Es ist daher sinnvoll, verallgemeinerte Koordinaten zu definieren, die die Zwangsbedingungen erfüllen und gleichzeitig die Komplexität des Problems durch die Reduktion der Anzahl (linear unabhängiger) Freiheitsgrade verringern. Die Bewegungsgleichungen in verallgemeinerten Koordinaten werden dann aus den Newtonschen Bewegungsgleichungen abgeleitet. Es wird sich zeigen, dass diese Gleichungen auch durch ein Variationsprinzip erzeugt werden können, das eine Lagrange-Funktion \(L\) spezifiziert, die im Fall konservativer Kräfte durch die Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie gegeben ist. Eine wichtige Konsequenz ist, dass die Lagrange-Gleichungen der Bewegung auch in anderen Bereichen der Physik angewendet werden können. Verallgemeinerte Impulse werden durch die Ableitung der Lagrange-Funktion nach den verallgemeinerten Geschwindigkeiten definiert. Dementsprechend ist der verallgemeinerte Impuls eine Erhaltungsgröße, wenn die Lagrange-Funktion nicht von einer bestimmten Koordinate abhängt, z. B. dem Azimutalwinkel \(\varphi \) . Dies legt nahe, die Formulierung in Phasenraumvariablen zu transformieren, die durch die Koordinaten und ihre zugehörigen Impulse gegeben sind. Dies wird durch eine Legendre-Transformation durchgeführt, die die Hamilton-Funktion H definiert. Im Fall konservativer Kräfte liefert letztere gerade die Energie des Systems in den Phasenraumvariablen. Das Variationsprinzip kann somit im Sinne des (äquivalenten) Variationsprinzips von Hamilton umformuliert werden, das zu den kanonischen Bewegungsgleichungen führt. Letztere werden anhand einiger Beispiele veranschaulicht. Des Weiteren wird erneut gezeigt, dass – für ein abgeschlossenes System – die Translationsinvarianz zur Erhaltung des Gesamtimpulses führt, die Rotationsinvarianz zur Erhaltung des Gesamtdrehimpulses und die Invarianz bezüglich Zeittranslationen zur Erhaltung der Gesamtenergie.