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We obtain explicit congruences for <Equation ID="Equ36"> <EquationSource Format="TEX">\(\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3}{(-8)^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) }{(-192)^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{(-144)^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{648^k},\\&\sum _{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3}{(-8)^k(k+1)^r},\ \sum _{k=0}^{p-2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) }{(-192)^k(k+1)^r},\ \sum _{k=0}^{p-2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{(-144)^k(k+1)^r},\ \sum _{k=0}^{p-2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{648^k(k+1)^r},\\&\sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3}{64^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) }{108^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{256^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) \left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) \left( {\begin{array}{c}6k\\ 3k\end{array}}\right) }{1728^k} \end{aligned}\)</EquationSource> <EquationSource Format="MATHML"><math display="block"> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd /> <mtd columnalign="left"> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> 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Congruences involving the products of three binomial coefficients

期刊论文
发表日期：

2026年6月25日

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Zhi-Hong Sun

摘要

Let $p>3$ $p > 3$ be a prime. We obtain explicit congruences for \(\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3}{(-8)^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) }{(-192)^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{(-144)^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{648^k},\\&\sum _{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3}{(-8)^k(k+1)^r},\ \sum _{k=0}^{p-2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) }{(-192)^k(k+1)^r},\ \sum _{k=0}^{p-2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{(-144)^k(k+1)^r},\ \sum _{k=0}^{p-2}\frac{\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{648^k(k+1)^r},\\&\sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3}{64^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) }{108^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^2\left( {\begin{array}{c}4k\\ 2k\end{array}}\right) }{256^k},\ \sum _{k=0}^{p-1}\frac{k^r\left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) \left( {\begin{array}{c}3k\\ k\end{array}}\right) \left( {\begin{array}{c}6k\\ 3k\end{array}}\right) }{1728^k} \end{aligned}\) $\begin{matrix} \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{w (k) {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{3}}{{(- 8)}^{k}}, \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{w (k) {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 3 k \\ k \end{matrix})}{{(- 192)}^{k}}, \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{w (k) {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 4 k \\ 2 k \end{matrix})}{{(- 144)}^{k}}, \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{w (k) {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 4 k \\ 2 k \end{matrix})}{648^{k}}, \\ \sum_{k = 0}^{(p - 1) / 2} \frac{{(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{3}}{{(- 8)}^{k} {(k + 1)}^{r}}, \sum_{k = 0}^{p - 2} \frac{{(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 3 k \\ k \end{matrix})}{{(- 192)}^{k} {(k + 1)}^{r}}, \sum_{k = 0}^{p - 2} \frac{{(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 4 k \\ 2 k \end{matrix})}{{(- 144)}^{k} {(k + 1)}^{r}}, \sum_{k = 0}^{p - 2} \frac{{(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 4 k \\ 2 k \end{matrix})}{648^{k} {(k + 1)}^{r}}, \\ \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{k^{r} {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{3}}{64^{k}}, \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{k^{r} {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 3 k \\ k \end{matrix})}{108^{k}}, \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{k^{r} {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{2} (\begin{matrix} 4 k \\ 2 k \end{matrix})}{256^{k}}, \sum_{k = 0}^{p - 1} \frac{k^{r} (\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 k \\ k \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 k \\ 3 k \end{matrix})}{1728^{k}} \end{matrix}$ mod $p^2$ $p^{2}$ and partial results for $\sum _{k=0}^{(p-1)/2} \left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3\frac{1}{m^k(k+1)^r}$ $\sum_{k = 0}^{(p - 1) / 2} {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{3} \frac{1}{m^{k} {(k + 1)}^{r}}$ and $\sum _{k=0}^{p-1} \left( {\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}}\right) ^3\frac{w(k)}{m^k}$ $\sum_{k = 0}^{p - 1} {(\begin{matrix} 2 k \\ k \end{matrix})}^{3} \frac{w (k)}{m^{k}}$ mod $p^2$ $p^{2}$ , where $w(k)\in \{k^2,k^3,$ $w (k) \in {k^{2}, k^{3},$ $\frac{1}{2k-1},\frac{1}{(2k-1)^2}\}$ $\frac{1}{2 k - 1}, \frac{1}{{(2 k - 1)}^{2}}}$ , $r\in \{1,2,3\}$ $r \in {1, 2, 3}$ and $m\in \{1,16,-64,256,-512,4096\}$ $m \in {1, 16, - 64, 256, - 512, 4096}$ .