In Langlands (Contributions to automorphic forms, geometry, and number theory. Johns Hopkins University Press, Baltimore, pp. 611–697, 2004.), Langlands introduces a formula for a specific product of orbital integrals in \(\text{ GL }(2, \mathbb {Q})\) . Altuğ (Compos Math 151(10), 1791–1820, 2015), employs this formula to manipulate the regular elliptic part of the trace formula, with the aim of eliminating the contribution of the trivial representation from the spectral side. In (Arthur, Adv Math 327:425–469, 2018), Arthur predicts that this formula coincides with a product of polynomials associated with zeta functions of orders developed by Yun (Ramanujan Math Soc Lect Notes 20:399–420, 2013). In (Espinosa, J Number Theory 252:379–404, 2023), we determined the explicit polynomials for the relevant quadratic orders. This paper demonstrates how these polynomials can effectively generalize Langlands’ formula to GL(2, K), for general algebraic number fields K. Furthermore, we also use this formula to extend a well-known formula of Zagier to any algebraic number field. Résumé. Langlands a trouvé une formule pour un produit d’integrales orbitales sur \(\text{ GL }(2, \mathbb {Q})\) [8]. Altuğ a employé cette formule pour gérer la partie régulière elliptique de la formule de trace, avec l’objectif d’annuler la contribution de la représentation triviale de la composante spectrale [1]. Arthur a conjecturé [2] que cette formule est le produit des polynômes associés aux fonctions zêta d’ordres developé par Zhiwei Yun dans [10]. Dans [5], on a calculé ces polynômes pour les ordres quadratiques pertinents. Dans cet article, on prouve une généralization de la formule de Langlands pour GL(2,K), où K est un corps de nombres quelconque, en utilisant les polynômes. De plus, on utilise cette formule pour vérifier la formule de Zagier dans un corps de nombres quelconque.
